三角形の辺と角の計算｜3 つの値から残りを解き 2 通りの答えも出す
三角形の 3 辺と 3 角のうち 3 つを入れると残りを求める無料ツール。2 通りの三角形ができる組み合わせでは両方を出し、三角形にならない入力ではどの条件が破れたかを表示します。
角度の単位
6 つの欄のうち 3 つを埋めてください。いま 0 つ埋まっています。辺は同じ単位でそろえてください。
例を入れる
辺と角のうち 3 つを入れてください
3 辺 / 2 辺と 1 角 / 2 角と 1 辺 のどれでも解けます
このツールについて
使い方・特徴・補足情報
三角形の辺と角の計算とは
三角形の辺と角の計算は、6 つの値のうち 3 つから残りを求めるツールです。
6 つの値とは 3 辺 a・b・c と、その向かいにある角 A・B・C を指します。
2 辺とその挟まない角を入れると、条件を満たす三角形が 2 通りになることがあります。この場合は 2 通りとも並べます。
三角形にならない入力では、破れた条件を名指しで出します。たとえば最長辺が残り 2 辺の合計以上のときです。
入力した値はブラウザ内だけで処理し、外部サーバーには送信しません。
こんな人におすすめ
図面や問題から三角形を解く人
楽になること
足りない辺と角を求める作業
避けたい手間
解が 2 つある場合の見落とし
解決できる困りごと
- 2 辺と挟まない角を入れたときに答えが 2 通りある、という見落としを防げる
- 測った 3 辺で三角形が作れないとき、どの辺が長すぎるかを数値で名指ししてもらえる
- 電卓で余弦定理と正弦定理を往復する手間がなくなり、押し間違いの検算も減る
- 度分秒と小数の度の読み替えを自分でしなくて済み、単位の取り違えに気づける
- 3 つの角だけでは大きさが決まらないことを、辺の比という形で確かめられる
使い方
- 角度の単位を選びます。既定は度で、ラジアンにも切り替えられます。
- 6 つの欄のうち 3 つを埋めます。辺 a の向かいが角 A という対応です。
- 3 つ目を入れた時点で答えが出ます。2 通りある組み合わせではカードが 2 枚並びます。
- 角の値は小数の度・度分秒・ラジアンの 3 表記が同時に出ます。
- 途中式で、どの定理をどの順に当てたかを確かめます。
- 「答えをコピー」で、断り書きまで含めて写せます。
使用例
3 辺 3・4・5 から角を出す
直角三角形として知られる組み合わせです。角 C だけが ≒ なしのちょうど 90 度と出ること、面積が 6 になることに注目します。
入力
辺 a = 3 ／ 辺 b = 4 ／ 辺 c = 5
出力
角 A ≒ 36.8699 度（36°52′11.63″）／角 B ≒ 53.1301 度／角 C = 90 度／面積 6／直角三角形
2 辺と挟まない角で答えが 2 通りになる
辺 a が短いため、角 B が鋭角の三角形と鈍角の三角形が両方成り立ちます。2 枚のカードの違いに注目します。
入力
辺 a = 3 ／ 辺 b = 7 ／ 角 A = 20°
出力
答え 1: 角 B ≒ 52.944 度・辺 c ≒ 8.3856 ／ 答え 2: 角 B ≒ 127.056 度・辺 c ≒ 4.7701
三角形にならない 3 辺
最長辺が残りの合計を超えています。どの辺がどの値を超えたかが文で出ることに注目します。
入力
辺 a = 10 ／ 辺 b = 2 ／ 辺 c = 1
出力
いちばん長い辺 a = 10 が、ほかの 2 辺の合計 3 以上あります。この 3 辺では三角形になりません。
活用シーン
測った 3 辺から角度を出す
巻き尺で測った 3 辺から、頂点の角度を知りたい場面です。3 辺を入れると 3 つの角が並びます。
棚や家具を斜めに収める
壁の角が直角でない部屋に板を合わせる場面です。2 辺と挟む角から残りの辺が出ます。
問題の答え合わせをする
正弦定理や余弦定理を使った計算を確かめる場面です。途中式にどの定理を当てたかが出ます。
アンテナや照明の向きを決める
2 点間の距離と高さから見上げる角度を求める場面です。直角三角形も同じ入力で解けます。
解が 2 つになる条件を確かめる
2 辺と挟まない角を与えたときの分かれ目を見る場面です。0 通り・1 通り・2 通りが切り替わります。
細長い三角形の角を読む
底辺がごく短い三角形を扱う場面です。素朴な式では 0 度に潰れる角も値が残ります。
技術的な解説
補足: 仕組み
角は Math.atan2 を使った半角の式 tan(θ/2) = √((s−q)(s−r) ÷ (s(s−p))) で求めます。
面積はヘロンの公式を Kahan の順に並べ替えた形で計算します。3 辺を長い順に並べ、引き算の順序を選んで桁落ちを避ける形です。
2 辺と挟む角から第 3 辺を出すときは √((a−b)² + 4ab·sin²(C/2)) を使います。
もっと詳しく
2 辺と挟まない角では答えが 2 つになる
角 A と、その向かいの辺 a、もう 1 つの辺 b を与えた場合を考えます。sin B = b·sin A ÷ a を満たす角 B は、鋭角と鈍角の 2 つあります。
両方とも A + B が 180 度未満なら、三角形は 2 通り成り立ちます。分かれ目は h = b·sin A で、a が h より短ければ 0 通りです。
余弦定理をそのまま使うと角が 0 度に潰れる
辺 100000・100000・0.001 で違いが出ます。cos の式 (q²+r²−p²)÷(2qr) は引き算で桁を失い、いちばん小さい角がちょうど 0 度になります。
本ツールの半角の式なら 5.729578e-7 度です。面積は素朴なヘロンが 49.99999946、並べ替えた形が 50 になります。
真の面積は 49.9999999999999994 ほどで、50 は倍精度で表せる最も近い値です。
面積計算ツールとの使い分け
面積計算は 12 種類の図形の面積と周の長さを出します。入れるのは面積を求めるのに足りる寸法で、単位を混ぜた書き方にも対応します。
本ツールが出すのは足りない辺と角そのものです。辺の単位は扱わないので、入れた長さの単位をそのまま返します。
面積も出しますが、こちらは副産物です。
よくある質問
度分秒はどう入力しますか？
記号か漢字を付けて書いてください。33°56'36" と 33度56分36秒のどちらでも読みます。
分だけ、秒だけの指定も通ります。
記号を付けない 33.5636 は、小数の度として 33.5636 度と読みます。
答えが 2 つ出たらどちらを採ればよいですか？
入れた 3 つの値だけでは絞れません。図を見比べて、実物に近いほうを選んでください。
角 B が鋭角か鈍角かが分かっていれば決まります。辺をもう 1 つ測るという手もあります。
3 つの角だけを入れると何が出ますか？
大きさは決まらないので、辺の比だけを出します。同じ形で大きさの違う三角形がいくらでもあるためです。
辺をどれか 1 つ入れ替えると、大きさまで決まります。
丸めの影響という欄は何を示していますか？
辺を 0.1 パーセント、角を 0.1 度だけ動かして解き直した結果です。角が最大どれだけ動いたかを示します。
誤差の保証ではありません。入力のわずかな違いに答えがどれだけ敏感かの目安です。
辺の単位は何を使えばよいですか？
3 辺を同じ単位でそろえてあれば、mm でも cm でも m でも構いません。答えの辺は入れた単位のまま返します。
面積はその単位の 2 乗になります。単位を換算したいときは単位変換ツールを使ってください。
指数表記の 1e-9 は入力できますか？
辺の欄は指数表記を読みません。0.000000001 のように小数で書いてください。
受け付ける辺の範囲は 0.000000001 から 1000000000000 までです。
関連記事
このツールの使い方や活用例をブログでも紹介しています。
関連ツール
同じカテゴリの他のツールも合わせてどうぞ。