順列・組み合わせ計算｜nPr・nCrと確率を式つきで同時表示
n個からr個を選ぶ場合の数を、順列・組み合わせ・重複順列・重複組合せの4通りで同時に求める無料オンラインツール。展開した式と1通りが選ばれる確率を並べて表示します。
選ぶ元になるものの個数
その中から取り出す個数
2 つの数を入れると 4 通りの数え方をまとめて計算します
例: 10 人から 3 人を選ぶなら、全体の数に 10、選ぶ数に 3
このツールについて
使い方・特徴・補足情報
順列・組み合わせ計算とは
順列・組み合わせ計算は、n 個から r 個を選ぶ場合の数を 4 通りの数え方で同時に出すツールです。どの式を使うか決めきれないまま入力しても、答えが並んで出ます。
並べる順番を区別する順列 nPr、区別しない組み合わせ nCr、同じものを繰り返せる重複順列と重複組合せがそろいます。条件のチェックを動かすと、当てはまるカードに印が付きます。
通り数の下には展開した式と、1 通りが選ばれる確率も並びます（重複組合せを除く）。手計算の答え合わせや、途中式の確認に向いています。
入力した数値はブラウザ内だけで処理し、外部サーバーには送信しません。
こんな人におすすめ
場合の数を数えたい人
楽になること
nPr・nCrの計算と検算
避けたい手間
順列と組み合わせの取り違え
解決できる困りごと
- 順列と組み合わせのどちらを使うのか、毎回考え直す手間がなくなる
- 電卓で階乗を打ち込む途中で桁があふれて答えが狂う不安がなくなる
- 同じ問題を 4 つの数え方で見比べて、条件の読み違いにその場で気づける
- 展開した式が並ぶので、手計算のどこで数を取り違えたかを追える
- 重複を許す数え方を別のページで探し直す往復がなくなる
使い方
- 「全体の数（n）」に、選ぶ元になるものの個数を入れます。
- 「選ぶ数（r）」に、その中から取り出す個数を入れます。
- 4 種類の数え方の通り数と、展開した計算式がすぐ下に並びます。
- 「あなたの数えたい条件」の 2 つのチェックを合わせると、当てはまるカードに印が付きます。
- 「結果をコピー」で、4 種類の答えと式をまとめてクリップボードへ写せます。
使用例
10 人から 3 人の委員を選ぶ
順番を決める場合と決めない場合で、通り数がどれだけ変わるかに注目します。役職付きなら順列、平等な委員なら組み合わせです。
入力
全体の数 10 ／ 選ぶ数 3
出力
順列 720 通り ／ 組み合わせ 120 通り ／ 重複順列 1,000 通り ／ 重複組合せ 220 通り
4 桁の暗証番号の候補を数える
同じ数字を何度でも使えて、並び順にも意味がある場面です。重複順列のカードだけを見る例になります。
入力
全体の数: 10
選ぶ数: 4
出力
重複順列 10,000 通り
式: 10 × 10 × 10 × 10
3 種類から 5 個を選ぶ
選ぶ数が全体の数を超える例です。同じものを 1 回しか使えない数え方だけが 0 通りになる点に注目します。
入力
全体の数: 3
選ぶ数: 5
出力
順列 0 通り ／ 組み合わせ 0 通り
重複順列 243 通り
重複組合せ 21 通り
活用シーン
係や当番の決め方を数える
クラスや部署の当番を何通りに決められるかを出します。役職の有無で結果がどう変わるかも並べて見られます。
イベントの抽選パターンを調べる
参加者から当選者を選ぶ組み合わせが何通りあるかを出します。1 通りが選ばれる確率も同時に並びます。
暗証番号やパスワードの候補数を見積もる
使える文字の種類と桁数を入れると、候補が何通りになるかが重複順列で分かります。桁を 1 つ増やしたときの伸び方も見比べられます。
算数・数学の宿題の答え合わせ
nPr と nCr の値を展開した式つきで確かめます。途中の積が並ぶので、どこで間違えたかを追えます。
総当たり戦の試合数を出す
参加チームから 2 つを選ぶ組み合わせが、そのまま総当たりの試合数になります。会場と日程を組む前の目安に使えます。
アンケートの回答パターン数を出す
設問ごとの選択肢をかけ合わせた総数を、重複順列の考え方で見積もります。集計を始める前に想定パターン数をつかめます。
技術的な解説
補足: 仕組み
通り数はすべて BigInt で数えます。倍精度の Number は 2 の 53 乗より大きい整数で下位の桁が丸められるためです。
組み合わせは階乗を 3 回作らず、acc × (n−r+i) ÷ i を i = 1 から r まで回します。途中の値は必ず整数なので、切り捨て除算でも誤差が出ません。
22 桁を超える答えは指数表記へ逃がし、正確な桁はコピーに含めます。
もっと詳しく
順列と組み合わせを見分ける2つの質問
数え方は 2 つの質問に答えると決まります。1 つめは「並べる順番が違えば別のものと数えるか」です。
2 つめは「同じものを 2 回以上選べるか」です。前者が「はい」なら順列、「いいえ」なら組み合わせを見ます。
後者が「はい」なら、重複が付く方の数え方に移ります。画面のチェックを動かすと該当カードに印が付きます。
階乗のまま計算すると桁があふれる理由
定義式 n! ÷ (r!(n−r)!) をそのまま計算すると、n が 30 を超えたあたりで数が急激にふくらみます。
30! はおよそ 2.65 × 10 の 32 乗で、整数を正確に扱える範囲を大きく超えてしまいます。
本ツールは分子と分母を交互に掛け割りし、途中の値を小さく保ったまま正確な答えを出します。
同じものを繰り返し選べる場面の数え方
重複組合せ nHr は、3 種類のアイスから 5 個買うような場面で使います。同じ味を何個選んでもよく、買った順番は問いません。
この数え方は「n+r−1 個から r 個を選ぶ組み合わせ」と同じ数になります。品物と仕切りを一列に並べて数える考え方から導かれる形です。
なお、こうして数えた組は 1 つずつの起こりやすさが等しくありません。そのため本ツールは重複組合せだけ確率を出していません。
よくある質問
順列と組み合わせのどちらを使えばよいですか？
並べる順番が違えば別のものと数えるなら順列、順番を問わないなら組み合わせです。
画面のチェックで条件を選ぶと、当てはまるカードに「条件に一致」の印が付きます。
どのくらい大きい数まで計算できますか？
全体の数と選ぶ数は、どちらも 1000 まで受け付けます。1000! は 2568 桁になりますが、桁を落とさずに求めます。
22 桁を超える答えは概数で表示し、正確な桁はコピーに入ります。
選ぶ数が全体の数より大きいとどうなりますか？
順列と組み合わせは 0 通りになります。同じものを 1 回しか使えない数え方では、選びきれないためです。
重複順列と重複組合せは繰り返し選べるので、この場合でも通り数が出ます。
表示される確率はどう読めばよいですか？
全部で N 通りあるうち、特定の 1 通りが選ばれる確率を「1 / N」と百分率で並べています。
重複組合せだけは 1 通りずつの起こりやすさが等しくないため、確率を出していません。
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