順列と組み合わせの違い｜nPrとnCrの使い分け

順列と組み合わせは、どちらも「n 個から r 個を取り出す」数え方です。 違いは一点しかありません。 取り出したものを並べるのか、選ぶだけなのかです。

この違いを取り違えると、答えは何倍もずれます。 10 人から 3 人なら順列は 720 通り、組み合わせは 120 通りで、6 倍の開きが出ます。

「並べる」と「選ぶ」で答えが 6 倍変わる

A・B・C の 3 人を選ぶ場面を考えます。 委員長・副委員長・書記を決めるなら、誰がどの役かで結果が変わるので ABC と CBA は別のものです。

一方、ただの委員を 3 人選ぶだけなら、ABC も CBA も同じ 3 人組です。 順番の違いを別々に数えるのが順列、同じものとして 1 つに数えるのが組み合わせです。

3 人の並べ方は 3! = 6 通りあります。 この 6 通りをすべて 1 つにまとめるので、720 ÷ 6 = 120 という関係になります。

問題文から見分ける 4 つの手がかり

公式を覚える前に、問題文のどこを見るかを決めておくと迷いません。 次の 4 点が判断の材料になります。

手がかり	順列のサイン	組み合わせのサイン
役割の指定	委員長・キャプテン・1 位	代表・委員・メンバー
順序の言葉	並べる・順に・一列に	選ぶ・取り出す・作る
対象の性質	番号付きの席・旗の色の順	班・チーム・対戦カード
入れ替えの意味	入れ替えると別になる	入れ替えても同じ

判断に迷ったら、取り出した 2 つを入れ替えてみてください。 入れ替えた結果が「別のもの」なら順列、「さっきと同じ」なら組み合わせです。

公式で r! を割る意味

順列は nPr = n × (n−1) × … と、n から 1 ずつ減らした数を r 個かけます。 10P3 なら 10 × 9 × 8 で 720 です。

組み合わせ nCr は、この順列を r! で割ります。 10C3 は (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) で 120 になります。

割る理由は、同じ顔ぶれの並べ替えを数え過ぎているからです。 3 人組はどれも 6 通りに並べ替えられるので、6 で割ると 1 つに戻ります。

この関係を知っていると、暗記する式は実質 1 つで済みます。 順列を先に出して、順番が要らないときだけ r! で割る、と覚えれば十分です。

間違えやすい 3 つのパターン

1 つめは、役割の有無を読み飛ばすことです。 「3 人の委員を選ぶ」と「委員長・副委員長・書記を選ぶ」では、同じ 3 人でも数え方が変わります。

2 つめは、対戦の数え方です。 総当たり戦の試合数は「2 チームを選ぶ」なので組み合わせになります。 A 対 B と B 対 A を別々に数えないためです。

3 つめは、同じものを選び直せる場合です。 3 種類のアイスから 5 個買うような問題では、同じ味を何個選んでもかまいません。

3 つめの場合、順列でも組み合わせでもない数え方を使います。 並び順が関係するなら重複順列、関係しないなら重複組合せです。

同じものを繰り返し選べるときの数え方

4 桁の暗証番号は、0 から 9 の 10 種類から 4 つを選び、しかも同じ数字を何度でも使えます。 この場合は 10 × 10 × 10 × 10 で 10,000 通りです。

このように毎回すべての選択肢が残る数え方を重複順列と呼びます。 掛け算だけで済むので、公式というより「桁ごとに選択肢をかける」と考えると早いです。

順番が関係しない方は重複組合せといい、n 個から r 個を選ぶ場合に (n+r−1) 個から r 個を選ぶ組み合わせと同じ数になります。 アイスの例なら、7 個から 5 個を選ぶ組み合わせで 21 通りです。

見分けたあとの計算は任せてよい

見分けがついてしまえば、あとは掛け算と割り算だけです。 ただし n が 20 を超えたあたりから桁が急にふくらみ、電卓では途中で丸められることがあります。

順列・組み合わせ計算ツールは、4 つの数え方の答えを同時に出して展開した式まで並べます。 自分の見分けが合っているかを、式を見ながら確かめてください。

学校の宿題で使うなら、まず自分で式を書いてから答え合わせに使うのが向いています。 式の形が違えば、どの段階で読み違えたかがその場で分かります。