2進数と10進数の変換を手計算でする方法｜16進数も

2進数を10進数に直すときは、右の桁から順に1・2・4・8…の重みを掛けて、足し合わせます。 10進数を2進数に直すときは、2で割り続けて、余りを下から上へ並べます。

16進数とのあいだは、2進数を右から4桁ずつ区切れば、1区切りずつ置き換えるだけです。 この記事では、182を例に、どの計算も表で1段ずつ追います。

授業や資格試験の問題を手で解くときの手順と、確かめ算のしかたをまとめました。 小数や負の数でつまずく点にも触れます。

2進数を10進数に直す：桁の重みを足す

2進数の各桁には、右から順に1・2・4・8・16…の重みがあります。 1つ左へ進むごとに、重みが2倍になります。

2進数の10110110を、右の桁から順に並べると次のとおりです。

右から	重み	桁の数字
1桁目	1	0
2桁目	2	1
3桁目	4	1
4桁目	8	0
5桁目	16	1
6桁目	32	1
7桁目	64	0
8桁目	128	1

桁の数字が1の行の重みだけを足します。 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182 で、10110110は10進数の182です。

0の桁は、重みを掛けても0なので飛ばしてかまいません。 足すのは1の桁だけ、と覚えると計算が速くなります。

10進数を2進数に直す：2で割って余りを並べる

10進数の182を2で割り、商が0になるまで割り続けます。 割るたびに出る余り（0か1）を書き留めておきます。

割られる数	2で割った商	余り
182	91	0
91	45	1
45	22	1
22	11	0
11	5	1
5	2	1
2	1	0
1	0	1

余りを、いちばん下の行から上へ読みます。 1・0・1・1・0・1・1・0で、182は2進数の10110110です。

大きい重みから引いていく方法もある

2で割る代わりに、重みを大きい順に引いていく方法もあります。 182から、引ける最大の重み128を引くと54が残ります。

54からは32、残り22から16、残り6から4、残り2から2を引いて0になります。 引けた重み（128・32・16・4・2）の桁を1、引けなかった桁を0にすると、10110110です。

数が小さいときや、重みの表が頭に入っているときは、こちらのほうが速く済みます。 2で割る方法は、桁が多くても同じ手順で進められます。

答えの桁数を先に見積もる

2進数の桁数は、重みの表から見当がつきます。 8桁で表せる最大の数は、8桁すべてが1の11111111で、255です。

182は128以上256未満なので、2進数にすると8桁になります。 計算して7桁や9桁になったら、どこかで割り算か足し算を間違えています。

一般に、n桁の2進数で表せる最大の数は、2のn乗から1を引いた数です。 4桁なら15、16桁なら65,535です。

2進数と16進数は、右から4桁ずつ区切る

16進数は、0〜9とA〜Fの16種類の数字を使います。 2進数の4桁は0〜15のどれかなので、16進数の1桁にちょうど対応します。

2進数	10進数	16進数
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	A
1011	11	B
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F

10110110を右から4桁ずつ区切ると、1011と0110です。 1011はB、0110は6なので、16進数ではB6になります。

16進数から10進数へは、16の重みで足します。 B6なら、Bの11に16を掛けた176と、6を足して182です。

区切りは必ず右から

桁数が4の倍数でないときは、区切り方で答えが変わります。 6桁の101101（10進数の45）で比べると、次のとおりです。

• 右から区切る: 10 と 1101 で、2とDになり 2D。10進数では45で、元の数と合う
• 左から区切る: 1011 と 01 で、Bと1になり B1。10進数では177で、別の数になる

左の端に余った桁は、頭に0を足して0010のように4桁にそろえると読み違えません。 頭に0を足しても、数の大きさは変わりません。

8進数は3桁ずつ

8進数は0〜7の8種類なので、2進数を右から3桁ずつ区切ります。 10110110は、10・110・110に分かれ、2・6・6で、8進数の266です。

8進数は、ファイルの権限を表す755のような数で見かけます。 権限の数の読み方は、755とrwxr-xr-xを行き来する手順にまとめています。

小数は、2進数で終わらないことがある

小数の部分を2進数にするときは、2で割る代わりに2を掛けます。 掛けた結果の整数の部分（0か1）を上から順に並べます。

0.625なら、2を掛けて1.25（1）、残りの0.25に掛けて0.5（0）、0.5に掛けて1.0（1）で終わります。 上から並べて、0.625は2進数の0.101です。

ところが0.1は、何回2を掛けても小数の部分が0になりません。 0.0001100110011…と、0011のくり返しが続く小数になります。

小数を2進数で持つ計算で、0.1がぴったりにならないのはこのためです。 手計算の問題では、「小数第何位まで求めるか」の指示を先に確かめてください。

負の数は「-」を付けるか、補数で表すか

負の数の書き方には、10進数と同じく「-」を付ける書き方と、決まった桁数の中で表す「補数」があります。 桁数（ビット数）を決めて負の数を表す問題では、補数の書き方が使われます。

8ビットの「2の補数」では、-1は11111111です。 同じ-1でも、「-」を付ける書き方なら-1のままです。

補数で書いた数を10進数に戻すときは、いちばん左の桁の重みを、128ではなく-128として足します。 11111111なら、-128に残りの127を足して-1です。

上の重みの表は負の数を考えない表なので、11111111を足すと255になります。 補数の答えを確かめるときは、いちばん左の桁だけ符号を変えて足してください。

どちらで答えるかは、問題文の指示と桁数の有無で確かめます。 桁数の決まった箱に数を入れる話は、2038年問題とはの32ビットの上限でも出てきます。

手計算の答えを確かめる

進数変換ツールの2進数の欄に10110110を入れると、10進数の欄に182、16進数の欄にb6が出ます。 16進数の大文字小文字は、詳細設定で切り替えられます。

4桁ごとに空白を入れた「1011 0110」のままでは読めないので、空白を消してから入れてください。 このツールは整数だけを扱い、小数の変換には使えません。

負の数は「-」を付けた書き方で出し、補数の形にはしません。 補数の問題は、いちばん左の桁を-128として足す手計算で確かめてください。

ツールの操作は、2進数・16進数を相互変換する使い方にまとめています。

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