確率1%を100回やっても当たるのは約63%｜少なくとも1回の求め方
1%の確率を100回試しても、少なくとも1回当たる確率は63.40%です。1回も当たらない確率から数える求め方、確率1/Nを N 回やるといつも約63%に落ち着く理由、半分や90%に届く回数の目安、くじを戻さないと答えが変わる理由を、計算した表で整理します。
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この記事の要点
- 1%を100回やって少なくとも1回当たる確率は63.40%
- 1回も当たらない確率（0.99の100乗）を1から引いて求める
- 確率1/NをN回やると、Nが大きいほど約63.2%に近づく
- 確率が小さいとき、半分に届くのは平均の回数の約0.69倍
- 引いたくじを戻さないなら、100本に1本は100本で必ず当たる
目次
確率 1% のことを 100 回試しても、少なくとも 1 回当たる確率は 63.40% です。 100 回やっても、1 回も当たらないことが 36.60% あります。
「1% なら 100 回で 1 回」は平均の話で、100 回で必ず当たるという意味ではありません。 この記事では、63% になる理由と、狙った確率に届く回数の目安を表で整理します。
「1回も当たらない」から数えると答えが出る
少なくとも 1 回当たる場合は、1 回・2 回・3 回…と分かれていて、そのまま数えると大変です。 そこで、反対の「1 回も当たらない」を先に求めます。
毎回 1% で当たるなら、毎回 99% で外れます。 100 回とも外れる確率は、0.99 を 100 回かけた値です。
| 回数 | 1回も当たらない確率 | 少なくとも1回当たる確率 |
|---|---|---|
| 100 回 | 36.60% | 63.40% |
| 200 回 | 13.40% | 86.60% |
| 300 回 | 4.90% | 95.10% |
| 500 回 | 0.66% | 99.34% |
少なくとも 1 回当たる確率は、1 から「1 回も当たらない確率」を引いた値です。 式で書くと 1 − 0.99 の 100 乗で、0.6340 になります。
回数を増やすと、1 回も当たらない確率はどんどん小さくなります。 それでも 0 にはならないので、少なくとも 1 回当たる確率は 100% に届きません。
確率1/NをN回やると、いつも約63%に落ち着く
1% を 100 回のほかに、10% を 10 回、0.1% を 1000 回でも同じことが起きます。 「平均でちょうど 1 回当たる回数」だけ試したときの確率を並べました。
| 1回の確率 | 回数 | 少なくとも1回当たる確率 |
|---|---|---|
| 1/2（50%） | 2 回 | 75.00% |
| 1/6 | 6 回 | 66.51% |
| 1/10（10%） | 10 回 | 65.13% |
| 1/100（1%） | 100 回 | 63.40% |
| 1/1000（0.1%） | 1000 回 | 63.23% |
| 1/10000（0.01%） | 10000 回 | 63.21% |
1 回の確率が小さくなるほど、答えは 63.2% に近づいていきます。 この 63.2% は、1 − 1/e（e は約 2.718）という決まった値です。
サイコロを 6 回振っても、6 が出る確率は 66.51% です。 確率が小さいときは、平均の回数だけ試しても約 37% は 1 回も当たらないと覚えておくと外しません。
平均の回数と「半分に届く回数」は違う
1% なら、平均すると 100 回に 1 回当たります。 ところが、当たる確率が半分の 50% に届くのは 69 回目です。
| 1回の確率 | 平均の回数 | 50% に届く回数 |
|---|---|---|
| 10% | 10 回 | 7 回 |
| 3% | 約 33 回 | 23 回 |
| 1% | 100 回 | 69 回 |
| 0.1% | 1000 回 | 693 回 |
確率が小さいとき、半分に届く回数は平均の回数の約 0.69 倍になります。 平均より早く半分に届くのは、なかなか当たらない場合がまれに長く続き、平均の回数を押し上げるからです。
もっと確実にしたいときの目安も、平均の回数の倍数で表せます。 1% なら 90% に届くのは 230 回目（約 2.3 倍）、99% に届くのは 459 回目（約 4.6 倍）です。
この倍数は、確率が小さいときの目安です。 10% のように大きい確率では少しずれるので、自分の数字で確かめてください。
1%を100回と「100本に1本を100本」は別の話
くじ引きで考えると、引いたくじを戻すかどうかで答えが変わります。 100 本のうち当たりが 1 本のくじを、100 本引く場合を比べました。
引いたくじを毎回戻すなら、毎回 1% のままなので 63.40% です。 戻さないなら、100 本全部を引くので必ず当たり、100% になります。
戻さないくじでは、外れを引くたびに残りの当たりの割合が上がります。 50 本引いた時点で、ちょうど半分の 50% です。
毎回同じ確率で当たるのは、戻すくじのほうです。 説明や設定に「毎回 1%」とあるなら、戻すほうの考え方で数えます。
この計算が当てはまらない場面
1 − (1 − p) の n 乗は、毎回同じ確率で、前の結果に左右されないときの式です。 次のような仕組みがあると、そのまま使えません。
- 外れが続くと確率が上がる、一定の回数で必ず当たる
- 1 回目と 2 回目で確率が違う（初回だけ高いなど）
- 当たりの数が決まっていて、誰かが引くと減っていく
最後の形は、上で見た「戻さないくじ」と同じ考え方で数えられます。 それ以外の仕組みは、ルールごとに計算の仕方が変わります。
自分の確率と回数で確かめる
確率と回数を変えて試したいときは、当たる確率計算を使うと手早く確かめられます。 1%・1/256・256分の1 のどれで書いても読み、少なくとも 1 回当たる確率と、50%・90% に届く回数を表で出します。
くじの本数で入れると、この記事の後半で比べた「戻す」と「戻さない」を並べて出します。 画面の操作はn回で当たる確率を計算する手順で説明しています。
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